从正方形的一个极点引出夹角为45°的两条射线探花 偷拍，并辘集它们与该极点的两对边的交点所组成的基本平面几何图形（图1）。其中，咱们将45°角的双方偏激对边围成的三角形称为“半角三角形”，即△AEF为“半角三角形”。

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正方形半角模子曲直常经典的几何模子，其论断颇多，由浅易到复杂，触及到旋转法、截长补短法、赞助圆、勾股定理的哄骗等。底下分期简要先容正方形半角模子的主要论断偏激表现要津，并例如以加深对该模子的表示。

一、论断及表现

题目：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分散在BC、CD上，∠EAF=45°，辘集EF。

论断（一）：EF=BE+DF。

表现（旋转法）:将△ADF绕点A顺时针旋转90°至△ABG的位置（F的对应点为G），因AB=AD，∠ABC+∠ADC=180°，故AB、AD重复，G、B、C共线（图2），Rt△ADF≌ABG，AG=AF，GB=DF，∠DAF=∠BAG=α，∠G=∠AFD=θ。

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在△AGE和△AFE中，AG=AF，AE=AE，∠EAF=45°，

∠GAE=∠GAB+∠BAE=∠BAE+∠FAD=45°

则△AGE≌△AFE，EF=GE=BE+GB= BE+DF。

即EF=BE+DF确立（图3）。

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表现该论断雷同要津有截长补短法，即延迟CB至点G，使GB=DF，这么Rt△ADF≌ABG，由此得出相通论断。

论断（二）：点A为直角三角形CEF的旁心。

旁心是三角形两条外角中分线和第三个角的内角中分线的交点。图3已证△AGE≌△AFE，则

∠AEG=∠AEF=ε，AE为Rt△CEF的外角GEF的中分线；

同理，AF为Rt△CEF的外角DFE的中分线，

AE、AF相交于点A，辘集正方形对角线AC，显豁AC中分∠BCD，点A为直角三角形CEF的旁心确立。

论断（三）：S△AEF=S△ABE+S△ADF。

已证△AGE≌△AFE，则

S△AEF=S△AGE =S△AGB+ S△ABE =S△ABE+S△ADF，

S△AEF= S△ABE+S△ADF探花 偷拍。

论断（四）：Rt△CEF的周长即是正方形边长的两倍。

如图3，Rt△CEF的周长=EF+EC+FC=(BE+DF) +EC+FC

=( BE+ EC) +（FC+ DF）=BC+CD，

Rt△CEF的周长即是正方形边长的两倍确立。

论断（五）“半角三角形”EF边上的高即是正方形的边长。

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作“半角三角形”AEF的边EF上的高AG（图4），字据前述效果易证：

Rt△ABE≌Rt△AGE或Rt△ADF≌ Rt△AGF，

AG=AB=AD。

其实该论断“不需表现”，因角中分线上肆意少量到双方的距离颠倒。

二、论断的哄骗

题目1：如图5，在正方形ABCD内有一个内接△AEF，若∠EAF=45°，AB=8，EF=7，则△EFC的面积是（）。

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解法（1）：将△ADF绕点A顺时针旋转90°至△ABG的位置（图6），则GE=EF=7，

S△AGE=S△AEF=1/2 GE·AB=1/2 8x7=28。

S△EFC=S□ABCD-2S△AEF

=8x8-2x28=8。

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解法（2）：设EC=x，CF=y，字据“Rt△CEF的周长即是正方形边长的两倍”，即

EF+EC+CF=2AB， a+b=2x8-7=9;字据勾股定理得：

EC ² +CF ² =EF ²， a ² +b ² =7 ²。

解方程ab=16，

S△EFC=1/2 ab=1/2x16=8。

题目2：如图7，在正方形ABCD中，∠AEB=78°，∠DAF=33°，则∠AFE=（57°）。

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解题想路：在Rt△ABE中，∠BAE=90°-78°=12°，则∠EAF=90°-12°-33°=45°；

另∠AFD=90°-33°=57°。

将△ADF绕点A顺时针旋转90°至△ABG的位置（图8），易证△GAE≌△FAE，

∠AFE=∠G =57°。

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因本题为填空题，可径直哄骗论断，即AF为△CEF的外角∠EFD的中分线，∠AFE=∠AFD=90°-33°=57°。

题目3：如图9，在正方形中ABCD中，E是BC上少量，BE=1/3 BC，F是DC的中点，辘集AE、AF。求证∠AEF=∠DAE。

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解题想路：承袭逆推法，因∠DAE=∠BEA，欲证问题回荡为表现∠BEA=∠AEF，咱们很快理猜度当∠EAF=45°时该论断是确立的。

字据已知条目设BE=1/3 x ，EC=2/3 x；FD=CF=1/2 x，字据勾股定理得：

EF=5/6 x。

因BE+ FD=1/3 x+1/2 x=5/6 x，

则EF=BE+ FD。

再将△ADF绕点A顺时针旋转90°至△ABG的位置(图10)，易证△AGE≌△AFE，∠GEA=∠AEF，

∠AEF=∠DAE确立。

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题目4：如图11，ABCD是正方形，E、F是正方形边上的点，AB=6，AE=3，CF=2，求∠EBF的度数（45°）。

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解题想路：解法同题目3探花 偷拍。

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